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Climatología de la caja (II)

enero 24, 2010

En la primera parte habíamos obtenido una ecuación diferencial para la temperatura y, con los datos del GISS, de una serie temporal para F. Obtengamos a partir de aquélla la expresión de T(t) (suponemos que T(0) = 0, e interpretamos T como una anomalía):

T(t) = \displaystyle \frac{1}{C} (F * g)(t) \mbox{ con } g(t) = \displaystyle e^{-\alpha t}

Con lo que la temperatura en un momento dado es proporcional a la convolución del forzamiento con una exponencial negativa, lo que podemos interpretar como el “forzamiento acumulado” hasta ese instante. Vamos a reescribir la constante de la exponencial:

g(t) = \displaystyle e^{\displaystyle -\alpha t}= \displaystyle e^{ \displaystyle -\frac{t}{\tau}}

Dado que el exponente es adimensional, \tau tiene las mismas unidades que el tiempo: es, por lo tanto, una medida de tiempo. En este tipo de procesos, se le denomina a \tau tiempo característico o constante de tiempo, y es un valor que determina la velocidad de respuesta del sistema a las variaciones en las entradas (a las variaciones del forzamiento, en este caso). Si el forzamiento fuera un múltiplo de un escalón unitario (es decir, si fuera nulo antes del inicio y un valor constante a partir del inicio de la serie), entonces la constante de tiempo mediría lo que tarda el valor de salida (la temperatura, para nuestro caso) en alcanzar el 63% de su valor final. Veámoslo gráficamente:

Constante de tiempo

En este ejemplo, el sistema tiene una sensibilidad climática al CO₂ de 3 ºC, una constante de tiempo τ = 20 años y se duplica el CO₂ instantáneamente cuando t = 0. Cuando han pasado 20 años, la temperatura ya ha ascendido 1.9 ºC, el 63% del incremento definitivo. Podemos compararlo con otros valores para la constante de tiempo:

Otras constantes de tiempo

Todas las curvas convergen al mismo valor, pero unas se acercan más rápido que otras. A los 20 años, la curva más rápida (τ = 5) ya se encuentra prácticamente en equilibrio, mientras que la más lenta (τ = 50) sólo ha completado un tercio del camino. Veamos ahora qué aspecto tiene esta convolución con los forzamientos reales durante el siglo XX¹:

Forzamientos y convoluciones

Con una constante de tiempo de un año, la convolución tiene un aspecto muy similar al del forzamiento original; en cambio, conforme aumentamos el tiempo característico, la convolución va perdiendo su sensibilidad a las variaciones de corto plazo como las erupciones volcánicas, quedando la tendencia a largo plazo.

De modo que ya sólo nos falta un ingrediente para empezar a usar el modelo: el factor constante 1/C. Lo vamos a estimar mediante regresión lineal: es decir, vamos a escoger alguna de esas curvas y vamos a estirarla verticalmente y moverla arriba y abajo hasta que encaje en el registro de temperaturas. Aquí están los ajustes con 4 constantes de ejemplo:

Modelo monocaja

Ajustes del modelo para diferentes τ

La primera de ellas, con τ = 1, exagera los picos causados por los volcanes y produce un ajuste bastante malo. La última de ellas, con τ = 30, padece el mal opuesto: es poco sensible a las erupciones, aunque parece capturar mejor la tendencia a largo plazo. Los dos casos intermedios parecen estar más equilibrados, ¿con cuál de ellos nos quedamos? Podríamos elegir a ojímetro, pero emplearemos un criterio algo más riguroso: vamos a comparar sus coeficientes :

r²

r² de los ajustes de ejemplo

Parece que el modelo con τ = 15 muestra mayor correlación con el registro instrumental de temperaturas. Y el modelo que parecía simular mejor los picos volcánicos, τ = 5, es peor estadísticamente que el τ = 30 que habíamos descartado (veremos cómo combinar lo mejor de cada ajuste en el próximo post). No obstante, ¿por qué analizar sólo estos cuatro casos? Vamos a unir los puntos, calculando el coeficiente r² para cada valor de τ entre 0 y 50 a intervalos de 0.1 año.

onebox-r2

r² como función de τ

De modo que en el intervalo considerado, las constantes de tiempo pequeñas proporcionan los peores ajustes, aunque van mejorando rápido conforme la aumentamos. Tras alcanzar un máximo, el ajuste comienza a empeorar lentamente. Ese máximo se encuentra en 15.7 años, bastante cerca de la de 15 años que había puesto de ejemplo (¿no es asombroso? ¡adoradme!). El resultado con τ = 15.7 es, como cabría esperar, muy parecido al de τ = 15:

tau157

Ajuste para τ = 15.7 años

Antes de pasar a la tercera parte, vamos a hacer un experimento. Vamos a eliminar los gases de efecto invernadero a la hora de calcular los forzamientos y vamos a ver si podemos explicar el calentamiento del siglo XX sin ellos:

Mira, mamá, ¡sin GHG!

El ajuste es bastante malo, pero uno podría pensar que, a pesar de eso, explica gran parte del calentamiento. No obstante, sería una conclusión errónea. ¿Por qué? Porque no es que el ajuste sea malo, es peor que malo. Es un ajuste ilegal. Me explico:

noGHG_t_vs_cv

Ajuste defectuoso

A la hora de buscar el mejor ajuste, la convolución ha quedado tan estirada que ha quedado invertida: la pendiente de la recta de regresión es negativa. Esto no sólo implica una sensibilidad negativa (inconsistente con la evidencia paleoclimática y los procesos de glaciación y sus finales) sino que, bajo las condiciones de este modelo, implica una capacidad calorífica negativa; algo que sólo se ha conseguido observar en este Universo en condiciones muy especiales. No obstante, en condiciones terráqueas, esto es imposible. El ajuste es ilegal al violar las leyes de la física. Agentes, arréstenlo.

De hecho, aunque variemos la constante de tiempo, seguiremos obteniendo coeficientes negativos. La razón es esta:

Forzamientos con y sin gases de efecto invernadero

Si no hubiéramos emitido el CO₂ y demás gases de efecto invernadero que hemos liberado a la atmósfera en el siglo XX, el forzamiento neto hubiera sido negativo, lo que nos habría conducido a un enfriamiento. La única manera de reconciliarlo con el registro de temperaturas es colocarlo al revés.

Hasta aquí hemos llegado hoy. En el próximo post, hablaremos de las limitaciones de este modelo y veremos si podemos mejorar el ajuste y, a la vez, conseguir que el modelo sea más realista teniendo en cuenta lo que sabemos acerca de la Tierra.

¹ Las convoluciones que se muestran directamente en las gráficas de este post están escaladas (para tener rms = 1) porque queremos comparar su forma, no su tamaño.

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